无限，这个似乎无处不在且难以捉摸的东西，在不同人眼中散发着不同光芒。有人觉得它很寻常，仅仅是一个形容词而已；有人觉得它值得研究，但需将其限制在严格范围；有人认为没必要有这样严格的范围；还有人认为它有尽头。有大哲学家，他们抱着不同想法；有大物理学家，他们抱着不同想法；有大数学家，他们抱着不同想法；有普通人，他们抱着不同想法；当然，这里也有自作聪明的蠢人。
今天写在这里，是希望能在一些角度普及关于无限的奥秘。虽然个人能力有限，可能会有表达不规范的地方，但为了普及的目的，这样大概也足够了。毕竟深入了解这些内容的人没必要从这里获取认识，而我所做的只是普及。如果有人能进一步了解并合理指出我的谬误，那就是我最大的希望了。
希腊哲学家亚里士多德在两千多年前就对无限作出了区分。他将无限区分为潜在无限和实在无限。这种区分或许是历史上最后一次无限的知识与普通人的直觉想象如此接近的情况。对于普通人来说，中国古代的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”是关于无限最直接且最平易近人的一种想象。这里的万世不竭可以理解为亚里士多德的实无限。一尺之棰，每天取其一半，在人类一定的历史时期的尺度上是有尽头的。这个尽头可以理解为潜在无限。
亚里士多德给人们设置了一个关于无限的禁区，这个禁区跨越了千年，一直规训着人们对无限的认识。长久以来，人们相信这样一个事实：实在无限不属于有意义的讨论范围，数学只有存在于可通过有效手段构建的事物范围之内才有意义。所以有了每个小学生都知晓的常识，直线和射线不可以比较长短，原因是它们都能够无限延伸。
然而真的就必须如此么？
一直到 19 世纪末，历经千年黑暗后，一位数学家站了出来给出答案。这位数学家看起来敏感且稍显脆弱，他就是集合论的创始人，德国人格奥尔格.康托尔。
康托尔首先给出了理论的雏形。这个雏形是关于可数无穷集与不可数无穷集的。当时的他因为提出这些稍显超前的理论而引来攻讦。这些攻讦使得他的精神陷入艰难。但我们后世之人却由此打开了数学世界的一扇光明之门。康托尔借助他的对角线证明法，证实了在实数中占绝大部分的超越数是存在的。这让人们知晓了关于无限，哪些是可以等价的，哪些是可以比较的。当然，为了能让更多人理解无限之间是如何比较的，我们会简单介绍一下康托尔的对角线证明法。由于只是对过程的介绍，这里省略了诸多必要的前提，只描述最关键的部分。
当考察由无限的正整数所构成的集合以及由无限的 0 到 1 之间的实数所构成的集合时，要证明这两个集合的大小情况。我们可以先假定这两个集合是可以一一对应的等价集合。这样一来，我们就能很轻易地用无限的正整数对无限的 0 到 1 之间的实数进行一一对应编号。如此，左右两边就形成了两列分别对应的实数和正整数。我们先在实数列小数点的第一位开始，对每个数字都同样加 1。这样一来，我们就得到了一个实数。这个实数在与正整数一一对应的实数数列里从未出现过。而这个实数就是超越数。从这样的证明中，我们知道了超越数的存在，也知道了实数这一不可数无穷集的无限，要大于正整数这可数无穷集所形成的无限。
于是在数学里关于“无限”从此有了区别于人类直觉之内的涵义。
当我们再次审视物理学时，会惊奇地发觉，在一些物理理论中，无限的含义有着与直觉不同的深刻差异。20 世纪最著名的物理学派之一——波尔和海森堡创建的哥本哈根学派所提出的量子引力理论，提出要对时间和空间进行量子化。但很快，朗道凭借他的物理直觉对该理论提出了一些疑问。朗道认为量子涨落会对我们测量时空某一点产生影响。随后，波尔虽给出了看似合理的解释，但很快朗道的好友马特维提出了更有力的质疑。马特维指出，当我们试图测量某一极小空间时，需要在这儿放些东西进行标记，比如一个粒子。然而，当我们这么做时，依据海森堡的测不准原理，我们无法将一个粒子长时间放置在确定的区域。该区域越小，粒子逃逸的速度就越大，能量也就越高。根据相对论的原理，粒子的巨大能量会使其跌入自身的黑洞，这样我们就无法对其进行测量了。
陷入这样的矛盾之后，惠勒提出了他颇为浪漫的量子泡沫理论。惠勒对空间的一些定义有了变化，空间在此变成了一种量子泡沫，一种具有最小尺度的非连续存在，而那个最小尺度就是如今人人熟知的普朗克空间尺度。
在这里我们发现，从物理学意义来看，空间所构成的无限已不再是那种“日取其半，万世不竭”的实在无限。然而我们进行空想的话，空间的这种非实在无限是否意味着必然是数学意义上的可数无限或者亚里士多德的潜在无限呢？我对此并不清楚，也很难有一些臆断。毕竟这里写下的一切只是一种出于普及角度而做的不那么规范的类比罢了。
但有些我无法给出答案，这并不要紧。因为我在此处想要普及的并非那些本该由殿堂级大师们才能发现或创造的理论本身，而只是试图通过在不同学科内关于“无限”这一神秘存在所展现出的一些迹象，给更多人带来一些启发。所以我认为，我依然可以说些什么。
我们用两千多字，终于对哲学、数学、物理学学科内关于无限所展现出的性质进行了粗略而简要的描述。哲学上区分了潜在无限和实在无限，其中潜在无限对人类直觉有着天然的亲切。数学上有可数无限和不可数无限的证明过程，还有远离人类直觉的超越数。以及物理学上空间在无限小的尺度上表现出的不可再分性。
通过以上展示我们能明白什么呢？我认为，这能让我们明白，在严肃认真讨论一个问题时，必须明确区分这个问题的讨论应被限制在哪个范畴内。只有明白这一点，才能明白，若要证明一个数学问题，就绝不能使用文学词汇内涵的多样性。当我们回到 19 世纪的康托尔时刻，在试图证明无限和无限是否可以比较时，不能因为无限这一词汇在文字涵义上相同，就简单地凭直觉认为它们相同，也不能理直气壮地认为自己证明了一个数学问题。也许很多人看到此处会觉得可笑，会觉得没人会如此愚笨。但请相信我，在这个世界上，运用语文方法去证明数学命题的民间科学家有很多很多！当这些民间科学家试图证明由无限正整数构成的集合与无限实数集合的大小时，他们会提出这样的观点：由于正整数和实数中的有理数集合是等价的，所以就证明了正整数集合小于实数集合。然而，他们完全不顾这样一个现实，即首先必须证明超越数的存在，才有可数无限集合之间的等价。他们只是醉心于用 1+1=2 来证明 2+2=4 所带来的快乐。
我希望写这篇文章的目的之一，是杜绝更多这类“人”的出现。另外多说一句，从物理角度看，普朗克尺度不可再分；从数学角度讲，要证明不可数无穷，这是有些不妥的，因为它们分属于两个不同范畴，一个是数学，一个是物理。
说完不要用类似哲学的语文或物理去证明数学之后，再来看另一个问题。数学里实数的不可数无限与代数数的可数无限，以及物理学中空间普朗克尺度的不可再分，这三者之间似乎总感觉冥冥之中存在着某种关系，但很遗憾，我未曾看到，也可能不存在这样的理论能将两者建立起实质的联系。
之所以会有上述这种看似无聊的空想，是因为从杨振宁关于数学与物理关系的演讲中得知，数学里的纤维丛理论和物理学的规范场理论，在事先未进行交流的独立发展过程中，得出了几乎相同的理论，并且这两个理论仅在一些基本概念上存在名义上的差异。我从杨振宁对纤维丛和规范场的惊讶中看到了一些东西。他对物质世界那原本难以捉摸的本质感到惊讶，而这种本质竟然在数学家和物理学家那里不约而同地显露出一些可以交叉验证的端倪，这让他感到震惊。
杨老说解释这一切为何会发生可能是宗教的任务。然而，我对宗教并不抱有幻想。因为宗教在想象力和行动力方面都较为欠缺。
我希望有一天，我能听到有人告诉我，数学上那些不可数的无限，以及其他原本纯粹属于数学的内容，在物理世界竟然也能真实地代表些什么。这听起来似乎自相矛盾，因为导致不可数的超越数被称为非代数数，而代数数似乎又代表着什么。所以姑且当作是一种无聊的空想吧，但我仍希望未来会有惊喜。
讨论完那些让我描述困难的内容后，我们回到常识世界，也可说是直觉世界。我们说了一些不能做的事，但作为人群中的大多数，普通人拥有的还是常识世界。难道在常识世界里就没什么可做了吗？当然不是。作为普通人，求知是一种在生存需求之外体现为人尊严的最佳方式。我们既然来到这个世界，即便只是普通人，也天然地拥有独一无二的人格。我们对这份独一无二的最好交代不应是吃喝玩乐，因为这些都是本能就有的东西，无需努力就能获得。
生而为人，我们还能做许多事情。我们可以沿着前人开拓好的道路前行。即便我们自身的天分有限，努力无法照亮别人，那也请照亮自己。
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希望本篇文章《探索无限的奥秘：从哲学到物理学，不同视角下的无限解读》能对你有所帮助！
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