2020 年，著名华裔物理学家徐一鸿推出了《Fly by Night Physics》这本书。这本书融合了他几十年来在科研和教学方面的经验，向物理学习者传授了如何运用直觉和猜算来解决物理问题。当手边没有文献资料，也没有笔和纸，就如同在夜间行驶的飞机上一样，仅凭借自己大脑内的知识以及直觉思维，物理学家依然能够做出合理的猜测。这种情况下，没有复杂且严格的数学推导，却更能直接触及物理的本质。《返朴》之前直播过徐一鸿针对其著作所做的讲座《物理直觉是如何养成的？》如今，这部杰作有了中文版。《返朴》选取了关于简单函数的内容，希望读者能够领略夜航人精妙的“夜行法”。
本文获授权选自《物理夜航船：直觉与猜算》（世界图书出版公司，2024 年 10 月版）的第一章《量纲分析：从并非神秘的武器到传说中的秘密武器》。通过返朴公众号底部菜单能够进入返朴书店进行购书。
撰文 | 徐一鸿（Anthony Zee）
翻译 | 姬扬
极限行为：只有三个数字
夜航物理学家的存亡成败由简单函数的假设所决定。在物理学中，大多数无量纲变量的函数较为简单，有的平淡无奇。然而，有时会出现幂律或指数，其原因通常较为明显。或者，这些函数是由对称性所决定的，就像球谐函数那样。偶尔，可能会有一个共振峰，能够用δ函数来近似，此时物理学家就会欢呼庆贺。
很多时候，若你能弄明白一个函数在其参数趋近于零、趋近于无穷大或者趋近于一些特殊值（比如角度为π/2）时的极限行为，那么聪明的插值就有成功的可能。下一小节存在一个基本的例子，另一个例子会在关于水波的第 8.1 节被给出。
在我早期的学习历程里，一位很有名的教授向我讲述，在实验物理学的范畴内，存在着数量众多的数字；然而在基础物理学中，仅仅有三个数字，分别是 0、1 和∞。他的意思是，你需用恰当的单位，让感兴趣的数字变为无量纲的。同时要进行量纲分析。做完这些后，结果只会是以下三种情况：(a)比你的预期小很多；(b)与你的预期差不多；(c)比你的预期大很多。实际上只有两个数字，即 0 和 1，因为 ∞ 与 0 呈反比关系。
在物理的有趣极限情况下，函数会有两种变化，要么变成常数，要么变成 0（或者与之等价的∞）。一般的猜测是函数会变成常数。如果猜测函数变成了 0 或者∞，那就必须给出相应的解释。
当然，你要根据手头的具体情况来调整这些一般性的考虑。
炮弹的射程
这道题处于大一物理的水平。炮弹以速度 v 进行发射，发射角度为θ。它的射程 R 具体是多少呢？请看图 1 和图 2。
图1 炮弹的射程 R 是角度 θ 的函数
图 2 中，我给美国内战时期的大炮点火。工作人员指示我，让我将身体向左扭动，接着拉动皮制的火绳。在右下方，勉强能够看到摄像师，同时也能看到电视片导演戴的帽子。
这个问题虽然简单，但在历史进程中，让众多物理学家获得了国王和将军们的喜爱。许多杰出的物理学家都曾担任过炮兵方面的指挥官。
因为 [v] 等于 L 除以 T，[g] 等于 L 除以 T 的平方，且炮弹的质量再次被抵消，所以能够立刻得出
其中 f(θ) 是未知的函数。
如果你水平发射，那么炮弹会直接扑倒在地。如果你垂直发射，就要小心了，因为这样你就无法传宗接代。所以，f(0) 和 f(π/2) 等于 0。一个简单的猜测是，f(θ) 是两个函数的乘积，其中一个函数在 θ = 0 时等于 0，另一个在 θ = π/2 时等于 0。如果你具备一些物理学常识，那么你就会拒绝像 θ(π/2 - θ)这样的东西。当把矢量分解为垂直和水平分量时，就会产生三角函数。所以，你所猜测的要么是 sinθcosθ，要么是 sin2θ（与前者相差一个系数 2）。[3]
从两端了解函数
在很多情况下，我们知晓某个函数在其取值范围两端的数值。库仑问题的量子波函数在第 3.2 节中是一个例子。当某个径向变量 r 趋近于无穷大时，波函数按指数形式趋近于零；当 r 趋近于 0 时，它按线性形式趋近于零。不求解薛定谔方程，你能否猜出这个波函数呢？不妨试一试吧。
焦虑怪开始说话了。我们都明白他会这么说。他说：“仅仅知道一个函数的两端，是无法唯一地确定这个函数的。”没错，我们都清楚这一点。接着，我们就继续进行吧。
生擒刻律涅亚的雌鹿：赫拉克勒斯的第三大任务[4]
赫拉克勒斯必须生擒刻律涅亚的雌鹿。这头雌鹿是阿耳忒弥斯女神的圣物，且速度最快。它打算从阿耳忒弥斯山下来，阿耳忒弥斯山被视为河岸上的一个点（见图 3）。它要以速度 vw 游过拉东河，拉东河宽度为 w。之后它会沿着河岸以速度 vl 跑到阿卡迪亚森林避难。
（请注意，这里提出的问题当然跟赫拉克勒斯没有关系。）
图 3 中，刻律涅亚的雌鹿游过了拉东河并到达了 P 点，接着沿着河岸一路跑到了阿卡迪亚森林。
我选择这个问题的一个原因在于，通过按部就班的计算能够轻松地解决这个问题。也就是说，即便运用勾股定理和二分法，也能够找到最短的时间。[7]然而，我们依然会采用一个关于量纲分析的、具有启发性且较为基本的观点。
所以，看我表演夜行术！
乍一看，似乎量纲分析无法发挥作用，因为存在两个距离可供 x 进行参考。然而，稍加思索就能明白，到阿卡迪亚森林的距离是不相关的。一种方式是设想将森林向右移动 10 千米，就如同图 3 右侧所展示的那样。这仅仅是增加了这头鹿到达森林所花费的时间，却不会对 P 的最佳位置产生影响。
另一种方式是让这头鹿从 P 点朝后跑到 C 点，接着再从 C 点跑向森林。从 P 跑回 C 所耗费的时间应当被视为对这头鹿时间预算的负向贡献。这头鹿从 C 到森林所花费的时间是固定不变的，且完全不依赖于 x。到达森林的距离是与之无关的。由此可得教训，我们不应盲目地去计算问题中量纲变量的数量。因此，量纲分析表明 x 等于 f(γ)与 w 的乘积。也就是说，河流的宽度 w 决定了 x 的大小。
正如我所言，通过按部就班的计算能够较为容易地确定 f(γ) [8]。然而，本着夜行法的精神，我们不妨来猜一猜吧。
如果γ趋近于 1，这头鹿游泳的速度和奔跑的速度一样快。对于它而言，趟水的感觉就像在平地上一样。这头鹿能够沿着直线抵达森林，所以 x 等于到那片遥远森林的未知距离，相较于 w 来说是极其遥远的。我们期待，当γ趋近于 1 时，f(γ) 会变成无穷大。
事实上，γ等于 1 对这个问题起到了限制作用。若这头鹿在水中游得比在陆地上快，那么这个问题就不具有意义了。在初级物理学以及数学领域中，计算出现错误最简单的方式就是让结果变为虚数，或许是某种平方根。所以，依据前面的所有考量，一个“合理的”推测或许是
在数学领域，这必然是不够严谨的。实际上，进行夜航的人或许早就忘却了数学系的大门朝向何处。
请你试试内插法
给你一个更具挑战性的任务。试着去猜测具有这样特性的函数：在 x 趋近于 0 的时候，g(x)趋近于 x；在 x 趋近于无穷大的时候，g(x)趋近于 e 的 x 次方。
有些大学生曾告诉我，存在着无数个函数的行为呈现出这样的情况。我知晓这一点。然而，依据夜航物理学的精神，我期望看到具备这些特性的最为简单的函数。并且，我不想去探讨“简单”的具体含义，只需给出一个你能够用最少算术符号书写出来的函数即可。
这个猜测是“正确”的，它将在第 3.5 节中被揭示。在物理学的历史进程中，它具有极其重要的地位。实际上，它引发了一场实实在在的革命。大学生们通常认为物理学的发展是有逻辑的，每个结果都是通过逐步推导得出的。然而，亲爱的读者，你肯定清楚这与实际情况往往相差甚远。物理学中真正意义深远的进步源于信仰的跨越，源于那些疯狂但又有依据的猜测。[9]
注释
不是某个带有奇特量纲的古怪数字，比如尔格英寻每小时之类的。
例如，有薛定谔（Erwin Schrödinger），也有图恩（Rudolf Thun），他们是我在大学里学物理的同学。据我所了解的情况，拉普拉斯能够在法国大革命期间保住性命，部分原因是他曾在法国炮兵部队服役。D. I. Duveen 和 R. Hahn 担任了拉普拉斯接替贝祖在炮兵学员考试官职位的工作，这一成果发表在《Isis》第 48 卷第 4 期（1957 年 12 月），页码为 416 - 427 。
一个物理学家朋友告知我，在炮兵训练期间，他尝试向军士长讲解正弦和余弦的概念，然而，那位军士长大声吼道：“把你的整钱和余钱都丢到一边去吧！”（Shove your sinus and conus up you know where!）。这便是过于卖弄学问的结果。（由此可以推断出，这段逸事并非发生在美国军队中。）
这部作品改编自 M. Huber 于 2009 年在普林斯顿大学出版社出版的《Mythematics: Solving the Twelve Labors of Hercules》，其内容位于第 22 页。
为什么呢？我们对此并不在意。不过，倘若你执意要知晓，这十大任务乃是对他将自己的孩子以及他兄弟的孩子扔进火里这一行为的惩罚。
[6] 关于刻律涅亚雌鹿的故事，见维基百科链接
_Hind。
事实上，这个希腊故事让我想起了一个与之类似的故事，而且这个故事更具现代感，其主人公是 20 世纪物理学的一位大英雄。见 GNut，第 3 页。
[9] 向第 1.3 节的年轻玻尔致敬。
作者简介
徐一鸿（Anthony Zee）是世界著名的美籍华裔物理学家，他是美国人文与科学院院士。1945 年在上海出生，曾经移民到巴西，之后在美国普林斯顿大学获得学士学位，在哈佛大学获得博士学位。现今在卡弗里理论物理研究所和加州大学圣巴巴拉分校任职。他是一位物理学家，其研究领域很宽广。他在宇宙学领域做出过重要贡献，在高能物理领域也做出过重要贡献，在凝聚态物理领域同样做出过重要贡献，在数学物理领域做出过重要贡献，甚至在生物物理领域也做出过重要贡献。已出版了 250 多篇学术论文，并且在致力于物理教材与科普图书的创作。他的著作被翻译成多个国家的语言，其中代表作有《果壳中的量子场论》，还有《爱因斯坦引力导论》，以及《物理学家的群论》，还有《可畏的对称》，另外还有《爱因斯坦的玩具》等。
译者简介
姬扬是浙江大学物理学院的教授，也是博士生导师。他曾获得国家杰出青年基金。1971 年出生，在中 国科学技术大学取得了学士和硕士学位，在中 国科学院半导体研究所获得了博士学位，之后在以色列魏兹曼研究所进行博士后研究工作，回国后一直在中国科学院半导体研究所工作。他有译作，分别是《激光光谱学》《半导体物理学》《半导体的故事》《引力的影子：寻找引力波》等。
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希望本篇文章《物理夜航船：直觉与猜算中文版问世，徐一鸿教你如何用直觉解决物理问题》能对你有所帮助！
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