导读
近来陶哲轩和三位物理学家发现新公式这件事最终是一场乌龙，即陶哲轩的线性代数“新”公式并未颠覆任何东西。不过，这场小波澜依然激发了数学家的探索。与对这一公式通常的解读和诠释不同，文本中记载的数学家发现的经历是我们较为少见能读到的。作者在这期间所经历的挣扎以及喜悦，很多人或许都曾体会过，就像思考一个困难的数学题并取得成功之后的那种喜悦。然而，旁观者如果细细品读，依然能够从中获得趣味和启发。
今年 11 月 15 日，我的师兄李弘九（Noah Rhee）教授邀请了我。我从美国东南部的海滨小城出发，乘坐早晨六点的飞机，经停亚特兰大机场，然后飞到中西部的第七大城。我抵达了他任教的密苏里大学堪萨斯城校区数学与统计系，并在那里做了一个有关遍历理论的数学演讲。没想到的是，在堪萨斯城度过的那个周末，值得我写下这篇感想之作。
早晨 5 点，我在起点机场候机。我习惯性地打开了微信。朋友圈里有人转发了一篇文章。这篇文章名为《3 个搞物理的颠覆了数学常识，数学天才陶哲轩：我开始压根不相信》。文章讲述的是今年夏季发生的一件事。
8 月的某一天，这位一直在加州大学洛杉矶校区从事教学工作的天才数学家收到了来自三位陌生物理学家的一封电邮，电邮中称：
我们发现了一个公式，若此公式正确，它就能在线性代数里一些极为基本且重要的对象之间构建出一种出乎预料的关系。
陶哲轩教授感到疑惑：这样短且简单的东西，本就应该在教科书里了。他不相信这是真的。然而他却认定这个公式是新的，接着就将其证明了，对于已证明众多艰深数学定理、被视为当今全世界最聪明的他来说，这是一件轻而易举的事情。十天后，他们四人共同创作了一篇篇幅不足三页的论文，其题目为“来自特征值的特征向量”。在这篇论文中，主要结果便是那三位物理学家所发现的那个公式，并且还通过两种方法对该公式进行了证明。
这个公式把埃尔米特矩阵的长度为 1 的特征向量的每一个分量的模平方，也就是该分量与其共轭复数的乘积，通过矩阵的所有特征值以及与这个分量的位置指标相对应的主子矩阵的所有特征值的某种简单代数关系给表达出来了，其结果确实很美丽，属于“美的数学”。然而在一般的线性代数教科书中，它并未出现。正因如此，四名作者都认为，前人已将发现这个美丽公式的荣誉留给了他们。
陶哲轩在数学界地位极高，他的一举一动都能引发媒体的关注。他的数学博客很引人关注，他关于数学的行为也同样如此。因此，大家以为发现了新公式，还有人宣称这一公式的理论价值比克莱姆法则还高。分子是用方程组的右端向量取代解分量位置指标后，所确定的系数矩阵那个列得到的新矩阵的行列式。
读完这篇报道后，我把它随手转发到了我的南大同学群。我飞到亚特兰大机场之后，在朋友圈里读到了这篇引起轰动的数学文章。然而，让我一眼就看到的是，文章的第一句竟然存在一个小小的英文笔误。
当天下午，我的一位大学同学在群里转发了新消息。这个结果并非新的。北大数学教授徐树方在他 90 年代出版的一本关于矩阵计算的书中，对于实对称三对角矩阵，给出了相同的结果。很快，其他关于同一公式的史实记录纷纷到来。这些记录一直追溯到 1968 年，当时是美国加州大学的一位线性代数教授汤姆生（R. C. Thompson）及其弟子，还有其他人发表了与之相同或等价的等式。到了第二天，陶哲轩等作者的说明也来到了，他们提供了有关这个结果的部分历史事实。在被发现的这些文章里，证明公式成立的那些基本假设，似乎都没有超出某一类矩阵的范畴，这类矩阵就是其共轭转置等于它自己的矩阵，也就是埃尔米特矩阵。
一个小小的数学浪花，因为冲浪者的大名鼎鼎，借助快速的网络得以传播，从而汇聚成了一股股滔滔巨浪。这便是现代通讯技术所展现出的力量。
下午做完学术报告，与对我演讲论题很感兴趣的系主任交流了一会儿。之后我待在师兄的办公室等他去参加另一个活动，便在手机上开始阅读陶哲轩他们的文章，很快就读懂了那漂亮且精炼的证明。突然，一个念头出现在我的脑海中：这个让媒体活跃的公式，对于比埃尔米特矩阵更广泛的正规矩阵是否也适用呢？一个矩阵 A ，若其共轭转置与它可交换，也就是 A H A = AA H ，那么这个矩阵就被称作是正规矩阵。对于埃尔米特矩阵 A 而言，因为 A H A = A 2 ，并且 A 2 = AA H ，所以它也是一个正规矩阵。酉矩阵 U 具有 U H U = I = UU H 的性质，所以它也是一个正规矩阵。不过，有许多酉矩阵不是埃尔米特矩阵，像平面上的旋转矩阵就是这样的例子。由此可见，正规矩阵的类别比埃尔米特矩阵的类别要大得多。
我很快发现，陶哲轩针对埃尔米特矩阵所证明的那个公式，能够一字不差地证明对正规矩阵同样成立。这是因为埃尔米特矩阵以及更具一般性的正规矩阵 A 都具备公式证明所需要的一个共同性质，那就是它们都可酉对角化，也就是说存在一个酉矩阵 U，能够使得 U 的共轭转置矩阵 U H 与矩阵 A 相乘，即 U H AU，得到的是一个对角矩阵。
这个发现使我的情绪开始提升，同时激起了强烈的好奇心，我想知道在对比正规矩阵更一般的矩阵时，“陶氏公式”是否仍然有效。因为可酉对角化是正规矩阵的一个特性，所以我猜测对于非正规矩阵，这个公式不再成立。这时我的师兄回到了办公室。我们得出去吃晚饭。之后还要去他家。以往我每次来访都住他家，就如同他每次应邀来我系做报告时住我家一样。
1986 年 1 月 3 日，这是我到达密歇根州立大学读书的第二天。那天上午，我第一次前往未来的博士论文导师李天岩教授的办公室见他。在办公室门口，我先遇到了他的一位博士生，这位博士生来自韩国，名叫李弘九。从那之后，我就和这位师兄建立了长久的友谊。他的名字中有“九”，而我的名“玖”是大写的“九”，因此我们生来就有着亲如弟兄的缘分。他的四兄弟中有三个是汉城大学（现叫首尔大学）的毕业生。他自己是其中之一。他的二哥在美国拿到了博士学位，之后成为了总统李明博的科学顾问。三十多年间，我们不但一直保持着亲密的朋友关系，而且在过去的十多年里合写了不少论文。
周五访问堪萨斯城，在饭店吃完晚饭并讨论数学后，回到他家已是 9 点半。他建议我早点洗漱休息，因为那天早晨我 3 点多就离家，开车 90 分钟去了机场。在楼上客房准备就寝时，我不想睡了，因为急于用自己的语言写下对正规矩阵公式的证明。于是我伏案工作一个小时，写下了这个证明。
第二天早晨我起床比较迟，原因是前一天实在是太累了。我们决定在早饭后前往他的办公室，继续讨论数学方面的内容，其中包括我已经做好的关于正规矩阵的公式证明。我的师兄具备很强的数学基础，李天岩教授也曾在我面前对他的数学能力进行过夸奖。他和他当护士的太太把人生的一大部分时间用在了宗教活动上，他们希望能拯救一些人类的心灵。同时，他一直都很热爱数学，也一直保持着对未知世界的探索激情。他和我的大师兄、北卡州立大学的朱天照教授在这方面完全相同；朱教授在其个人网页中表述为：他将教书视为所爱，把研究当作嗜好，把布道当作使命。）我对他们两人的人生取向十分敬佩，可惜我却做不到所有这些。
周六我们在办公室进行了讨论、思考和数值试验，这些都很有成效。在多年的合作过程中，我主要担当着思想者的角色，常常会有新奇的想法在脑海中涌现；而他通常以实践者的身份出现，在计算过程中时常能有出乎意料的观察和发现。在差不多十年前，我们在进行用最大熵方法计算不变密度函数的研究。那时，由于他在计算实验中察觉到关键矩阵的奇异性，这促使我想到了把有限元的思想与最大熵原则相结合的现代最大熵方法。通过这个方法，一举扫除了经典最大熵方法的病态问题，进而促使了第一个样条函数最大熵算法的诞生。我的师爷叫约克（James Yorke），他曾经讲过：“计算有可能引发伟大的发现。”这句话是真实的。在这一次，师兄的计算起到了作用，它加快了我去改进埃尔米特矩阵特征向量计算公式的步伐。
李弘九一到办公室，就运用他熟练的 MATLAB 随机选取了一个正规矩阵。经过验算，他发现了我所证明的公式是正确的。这里还有一个小插曲，当我从洗手间回到他的办公室时，刚刚完成计算的他对我说道：“玖，你的公式不对！”我一听，极为震惊。然而，我并不相信这个论断，所以请他给我重新展示计算过程。在最后一步的检验阶段，我们终于找到了一个下标错误。将这个错误改正之后，电脑的屏幕上立刻显示出了令人兴奋的等号。
接着，他随机算了一个矩阵。结果正如我所料，这个矩阵的公式是不对的。通过这件事，我们对公式的本质有了更深入的认识。接下来的事情就是去寻找公式的进一步推广。
陶哲轩证明公式成立的关键假设在于可酉对角化矩阵 A 具备相互正交的特征向量基底。可对角化矩阵比可酉对角化矩阵更为一般。对于矩阵 A 而言，如果存在一个非奇异矩阵 S，能使 S -1 AS 成为一个对角矩阵，那么就称 A 是可对角化的。此时，S 的所有列都属于 A 的特征向量，并且这些特征向量构成了酉空间的一个基底。然而这些特征向量通常不具备所期望的正交性条件。由于缺乏特征向量两两正交这样的有用性质，我还能够得到那个优美的等式吗？整个周六，我都在对这个问题进行思考。
当我沉浸于求解一个问题时，我的注意力会高度集中。这是我在几十年的学习以及研究生涯里养成的习惯。在我之前所写的文章《数学应该怎么学》中，我强调了“专注”对于研习高等数学有着极端重要的意义，并且将其列为读书成功的必要因素。此时，我又一次获得了专注的眷顾。
我注意到，陶哲轩对公式给出的第二个证明的思路能够继续推进，然而其叙述方式难以找到推广的新方向。接着，我把矩阵当作有限维线性变换，运用了线性代数的“函数论”分析法，即两个线性变换若在定义域空间的基底上给出相同结果，那么它们相等。林开亮博士在《数学文化》杂志的一篇书评中提到，这种线性代数中的几何论证法在哈尔莫斯（1916 - 2006）的名著《有限维线性空间》里能看到，也在他的徒孙、即我的老师阿克斯拉教授的教科书《线性代数应该这样学》中随处可见。
于是，对陶哲轩的原始证明思想进行了一些变形。我找到了将正规矩阵推广到一类可对角化矩阵的关键想法。借助正交投影的力量，我最终开辟出了一条到达目标的通道。我找到的宝藏是：存在矩阵 A 的线性无关的特征向量 v1，v2，…，vn。若第 i 个特征向量 vi 的长度是 1，并且它与其他 n - 1 个特征向量都相互垂直，那么陶哲轩的公式依然是真实的。
上述推广公式只是我针对任意可对角化矩阵所得到的一个等式的推论。它还有另一个推论，该推论给出了 n 乘 n 阶可对角化矩阵的所有特征值与它的 n 个(n - 1)乘(n - 1)阶主子矩阵的所有特征值之间的一个等式关系。我未曾见到过这个看上去不错的公式。我常常孤陋寡闻，所以不敢相信自己是这个关系的第一个发现者，或许顶多只是一个独立的发现者，就如同这一波数学新闻的主角——那三个物理学家和陶哲轩一样。
我写满了五页纸的数学手稿，其中有两页是出发前打印出的两张登机牌的空白反面，我还在这些纸上留下了更多页数的演算草稿，这时我快要结束我的堪萨斯城之旅了。这是一次收获颇丰的旅行。其一，我们师兄弟俩时隔两年再次相逢。其二，听我讲座的研究生事后向他讲述了如何从我的演讲中爱上遍历理论这门学科。其三，现代通讯的支撑以及中国腾讯发明的微信，给了我再次被数学激励的动力和干劲，让我充分满足了好奇心。
手稿的其中一页 | 丁玖拍摄
周日下午，李弘九教授把我送到归程的机场。他和我一样，因与陶哲轩“共舞”一场而兴高采烈。之后我在候机时，突然想起了三十年前的一次数学之旅。那次旅行与普通的旅行不同，也没有微信的帮助。那年夏季，李天岩教授教了我们几个弟子一门新课，这门课是一学年的《[0, 1]上的遍历理论》。之后，他给了我一次练笔的机会，让我帮助他在他于日本京都大学所作的一系列演讲稿的基础上写出一本计划出版的书稿。当写到著名的“乌拉姆方法”以及他对一类区间映射的“乌拉姆猜想”证明处于书中最后一章时，好奇心突然大增：乌拉姆方法采用的是“逐片常数函数逼近”，作为计算数学专业的本科毕业生和硕士，为何不尝试逐片线性函数或者更高阶的逼近法呢？我拿起纸笔，开始劲头十足地演算。很快，我就完成了任务，设计出了两类新的数值方法，并且证明了它们的收敛性。这项成果，并非在“计划经济”的指导下产生，而是如同“市场经济”般自然形成。它立刻成为了我的博士论文的重要内容，尽管在此之前，我已经写出了两篇在不同领域的文章。我出身于在南京大学受过训练的最优化理论领域。然而，最终“计算遍历理论”这一新兴学科占据了主导地位，我后来便为此忙碌了三十年。
我坐在机场的候机厅，想起了另一次数学之旅。差不多十年前，我读到了一篇杨振宁先生的采访记，在这篇采访记里，有他对杨 - 巴克斯特方程的历史进行的描绘，还有关于“辫子解释”的内容，这些描绘和解释都非常生动。读后我思考，若把这个方程的每个因子当作矩阵，就能定义出一类二阶矩阵方程，我们暂且称其为“杨 - 巴克斯特矩阵方程”，以此来表达对这两位老先生的敬意，就如同对待解非线性代数方程组的牛顿方法那般。接着我邀请了我的李师兄，一同开启了对这个非线性矩阵方程解结构的探索之旅。我的大学同学魏木生带领他的弟子。他们找到了关于一般矩阵的这个方程的所有可交换解。
我怀着对中西部平原有些不舍的离别情绪，也怀着对师兄太太为我准备的精美健康早餐的美好回忆，登上了飞往亚特兰大的飞机。在那高达万米的高空之上，窗外呈现出一片湛蓝的天空，而我的心中则是一片灿烂的阳光。的确，如果时光能够倒流，我要是再年轻三十岁，我本可以有许多机会不让它们流逝，去探索数学的美妙，满足自己的好奇心，享受发现的快乐。年轻的学子，你们生活在一个知识信息大爆炸的时代。你们拥有着数不清的机遇。抓住这些机遇，与它们一同起舞。这样，你们的创造之源就会如汹涌的泉水般喷薄而出。你们的智慧之光也会照亮前方的道路。无论你的发现是大还是小，无论你的结果是重还是轻，最值得你感到自豪的，最值得你细细回味的，最值得你沉浸其中而忘却一切的，最值得你不懈追求而度过时光的，便是你“吾将上下而求索”的整个过程。这便是我在 11 月 15 日到 17 日这个周末所产生的全部感想。
写于2019年11月29日星期五
陶哲轩的线性代数的“新”公式没有对任何事物造成颠覆。
本文作者是丁玖，他是美国南密西西比大学数学系的教授。该文章于 2019 年 12 月 3 日发表在微信公众号“返朴”（与陶哲轩“共舞”的一个周末 | 数学家发现纪实）上，风云之声获得授权进行转载。
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本文概览：他却相信了这个公式是新的，于是便把它证明了，这对不知证明了多少艰深数学定理，被认为是当今全世界最聪明的他，是手到擒拿的小事一桩。 当天下午...