在第一讲里，我们提到了数学教学应该努力促使学生思维得到发展。同时，我们也认为如果片面地强调“人人都应学会数学地思维”，这就体现了一种比较狭窄的“学科性思维”。那么，这两者之间是否存在一定的矛盾呢？答案是恰恰相反。笔者认为，这清楚地表明了从“帮助学生学会数学地思维”向“通过数学学会思维”转变的重要性。后者可被视为这里所提倡的“数学深度教学”的一个重要内涵，也就是我们应当从突出强调具体的数学方法和策略，转变为注重提升一般性思维策略与思维品质。
还应强调的是，上述主张体现了一种思考。这种思考是，数学教育要为大多数学生作出实质性的贡献，而这些学生将来未必会从事与数学有关的行业。基于对波利亚相关思想的分析，我们能够更好地认识到这一点。
具体而言，波利亚是“问题解决”现代研究的直接奠基者。他特别重视“问题解决”与“数学启发法”，主要原因是他认为这两者具有超出数学的普遍意义。他觉得“解题是人类的本性”，可以将人类定义为“解题的动物”，并且人类的生活充满了不可立即实现的目标。我们的大部分有意识思维是用于解题的；当我们没有沉浸在娱乐或白日做梦中时，我们的思想有着清晰的目标。“数学启发法的用途”并不局限于任何特定的题目。我们的问题可以是代数方面的，也可以是几何方面的；可以是数学领域的，也可以是非数学领域的；可以是理论性的，也可以是实际性的……［1］
然而，波利亚的上述工作影响十分广泛且深远，在他之后的相关理论研究中也有不少新的重要成果。但从数学教学的角度来看，相关的努力似乎都没有达到预期的效果。20 世纪 80 年代在世界范围内流行的“问题解决”运动，曾期望通过启发式教学提升学生解决问题的能力。然而，最终不得不面对这样的事实：学生虽具备必要的数学知识，似乎也较好地掌握了相应解题策略，但仍无法有效解决问题。
上述情况自然引发了人们的深刻思索。以下是一个普遍的认知：“将问题解决当作学校数学教育的核心”存在一定益处，然而也具有很大的局限性。其一，“问题解决”不能被视为数学活动（包含数学学习活动）的唯一形态；其二，除了“问题提出”这一环节之外，我们应当格外重视这样一个问题：“得到解答后继续前行”。
上述认识主要是针对数学活动展开分析的。然而，要是着眼于大多数学生的话，我们显然就应该超越数学这一范畴。
从更一般的角度来思考学习。波利亚曾明确提及这样一个观点：解数学题的能力，一方面依赖于某些相关的数学专题知识，另一方面还依赖于某种有益的思维习惯，以及某种在日常生活中被我们称为“常识”的一般性东西。一位教师要教所有学生，包括未来用数学和不用数学的人，需教三分之一数学和三分之二常识。给学生灌注有益思维习惯和常识不太容易。若数学教师在这方面取得成绩，就为学生（不论以后做何工作）做了好事。为那 70%在后续生活中无需运用科技数学的学生做些好事，自然是一件极具意义的事情。
这是针对大多数学生，尤其是将来未必从事数学相关行业的学生进行考察所得出的结果。它更集中地体现了“努力提升学生的核心素养”这一思想在数学教育方面的主要启示，那就是我们必须超越数学范畴，从更广泛的角度去进行分析和思考。这指的不只是我们要超越具体的知识与技能，进而深入到思维的层面；还指我们应当由具体的数学方法和策略，过渡到对一般性思维策略的学习以及思维品质的提升。
还应强调，我们在此提倡的不是“常识”的简单回归，而是在更高层面，也就是在“专业化”的基础上对“常识”进行重建。数学教学中提及的“几何直观”显然不能等同于“感性直观”的简单回归，而是要帮助学生学会用几何图形来表现内在的思维活动，以实现思维的“可视化”，进而发展自身的“形象思维”与“数学直觉”。
在此，直接涉及这样一个问题：对于大多数将来不一定会从事数学相关行业的学生而言，
这么多年的数学学习真的就没有任何效果或者影响吗？从文化的角度来审视，答案并非是没有效果或影响。所谓“文化”，在这里主要指的是因某种因素（比如职业、居住地域、民族等）而联系在一起的一个群体所特有的生活方式以及工作方式，其中包含着思维方法和价值观念等。它具备两个重要的特征。体现在人们生活或工作的各个方面，体现在相关成员的举手投足之间，这种体现十分自然、自在，不是刻意做作的，它可以被看作是主体内在的价值观念、生活态度与思维方式的具体呈现。文化的养成主要是一个潜移默化的过程。作为共同体的一员，人们在相应群体中的生活与工作，会不知不觉地养成相应的生活方式、思维方法和价值观念等。正因为如此，人们对此往往没有清醒的自我意识，也缺乏自觉的反思。
“数学文化”指的是人们在实际参与各种数学活动（包含数学学习）的过程中所形成的一些特殊的行为方式、思维方法以及价值观念等。这些东西并非是刻意去做出来的结果，而是在生活或工作的各个方面以及举手投足之间都能体现出来。
从以下对照比较能够得知，长期进行数学学习是会给人带来一定影响的，即便它直接关联的仅仅是数学教师和语文教师。
【例2】语文教师与数学教师的不同“行事方式”。
经常参加教师培训，活动安排通常是这样的：这一周是语文培训，下一周则是数学培训。有一次碰到负责安排住宿的老师，笔者随口问道：“数学老师和语文老师的情况是否一样？”即便对方并非从事教育工作，她的回答却很肯定：“数学老师和语文老师的情况完全不一样！”这自然引起了笔者的兴趣：“到底怎么不一样呢？”这位老师回应道：语文老师的情况比较复杂。他们非常个性化，每位老师的要求都有所不同。有的老师称自己神经衰弱，不能和他人同睡一个房间，因此强烈要求务必给安排个单间；有的老师则表示一定要住向阳的房间，因为见不到阳光自己会情绪低落。而数学老师就很简单，他们来之后只会说一句话：“是不是大家都一样？”
听报告时情况各异：语文老师容易变得激动，乐于鼓掌，甚至会起身鼓掌，当听到激动之处时，恨不得冲到跟前与你拥抱……而数学老师通常会静静地坐在那里，较为含蓄，不太愿意鼓掌，最多只是露出些许微笑，然后说上一句“这个人讲得还可以”……
以下则是笔者的一次亲身经历。
在深圳进行听课活动，既有数学教育方面的专家，也有具备语文背景的专家，他们一同参与听课。当一堂课结束后，具备语文背景的专家三次流下了眼泪；然而，我的第一反应是：“我尚未弄明白为何会落泪呢！”
在深圳，聆听中文教授作关于“什么是中国语义”的报告。试想，若是数学教师，必定会对“中国语义”给出明确的定义。然而，中文教授的做法截然不同，他列举了 10 个例子，如“推敲不定之月下门”“闭花羞月之少女貌”等。这些例子生动且富有韵味，但说完例子后就再无其他内容了。我说道：“你还没有给出定义呢！”语文教学有其特有的韵味，其中语文注重比喻，能给人留下充足的想象空间；而数学注重确定性、客观性和精确性。
综上可见，语文教师与数学教师在一定程度上能被视为生活在不同的“世界”里，也就是说他们具有完全不同的“文化”。并且，尽管双方很可能都没有清楚地意识到这一点。
那么，笔者在此所倡导的主要观点究竟是什么呢？概括而言，“深度教学”期望的是从上述的不自觉状态（“潜移默化”）转变为更自觉的状态。尤其重要的是，我们能够通过对数学教育目标进行适当的调整和落实，为大多数离开学校后的学生留下更多且更有价值的东西。
最后，需要指出的是，要实现上述目标，不能仅围绕数学本身进行分析思考。我们应当进一步去研究未来社会对合格公民有哪些不同要求，对此我们将在第三讲中进行具体的分析论述。6. 以此让学生真正成为学习的主人。
参考文献
G.波利亚的《怎样解题》由阎育苏翻译。该书于 1982 年由科学出版社出版。
G.波利亚的《数学的发现（第二卷）》由刘景麟等人翻译，该书于 1981 年在呼和浩特由内蒙古人民出版社出版。
《小学数学教师》2019 年第 9 期有“专栏”栏目。欢迎通过中国知网下载该期杂志，也欢迎订购《小学数学教师》杂志。图片来源于网络。
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